√ Contoh Soal Program Linear : Model Matematika, Fungsi Objektif, Garis Selidik

Posted on

Dalam dunia usaha, seorang pengusaha pada umumnya ingin memperoleh keuntungan sebanyak-banyaknya dari bidang usaha yang digelutinya. Untuk itu, pengusaha tersebut membuat perencanaan untuk mengoptimalisasi sumber daya yang tersedia, seperti bahan baku, transportasi, sumber daya manusia, dan lain-lain. Upaya optimalisasi ini dapat dimodelkan dengan program linear.

  1. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk:

Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk berikut.

dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh soal program linear

  • Model Matematika

Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika. Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut.


PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari.


Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.


Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.


  • Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

Dalam pemodelan matematika masalah produksi ban PT. Samba Lababan, kalian akan mencari nilai x dan y sedemikian sehingga f(x, y) 40.000x 30.000y maksimum.


Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.


  1. Metode Uji Titik Pojok Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut.
  2. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
  3. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
  4. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
  5. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

Sebagai contoh, kalian akan memaksimumkan keuntungan PT. Samba Lababan dari produksi ban dengan model matematika f(x, y) 40.000x 30.000y.

  1. Uji titik-titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) 40.000x 30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimum.

Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) 40.000x 30.000y adalah f(25, 150) 5.500.000. Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum. Untuk menentukan nilai minimum dilakukan langkah yang sama. Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

  • Metode Garis Selidik

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut

  1. Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis

  1. Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius!
  2. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sebagai contoh, grafik berikut ini adalah produksi ban PT. Samba Lababan.

Perhatikan bahwa garis selidik yang menyebabkan fungsi objektif maksimum adalah 4x 3y=550. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis selidik dengan 10.000, kamu mendapatkan nilai maksimum fungsi objektif sebagai berikut.

Demikianlah artikel dari dosenmipa.com mengenai Contoh Soal Program Linear, semoga artikel ini bermanfaat bagi anda semuanya.

Tinggalkan Balasan